Втрьох існує 807 723 671 040 різних роздач, а середня сума очок у семи картах на руці — 35. Після роздачі принаймні один гравець має мар’яж у 64,8% роздач, а король і дама червей опиняються в одній руці лише в 23% роздач. Кожне число на цій сторінці ми підрахували точно, рахуючи розклади карт, і до кожного подаємо метод.
807 723 671 040 стільки різних роздач існує втрьох: 24! / (7! · 7! · 7! · 3!)
Скільки існує роздач
Роздають 24 карти: по 7 кожному з трьох гравців і 3 у прикуп. Перший гравець може отримати будь-які 7 з 24 карт, другий — будь-які 7 із 17, що лишилися, третій — будь-які 7 із решти 10, а останні три йдуть у прикуп. Отже, кількість роздач дорівнює C(24, 7) · C(17, 7) · C(10, 7) = 24! / (7! · 7! · 7! · 3!).
| Що ми рахуємо | Скільки |
|---|---|
| різних рук із семи карт | 346 104 |
| різних прикупів із трьох карт | 2 024 |
| різних роздач втрьох | 807 723 671 040 |
Якби ви роздавали по одній роздачі за хвилину, без сну й перерв, щоб перебрати їх усі, знадобилося б приблизно 1,5 мільйона років. А після ста тисяч роздач імовірність того, що якась із них повторилася, становить лише 0,6% (те саме міркування, що в задачі про дні народження).
Скільки очок має рука
Уся колода має 120 очок за карти, тож одна карта дає в середньому 5 очок, а сім карт — 35. Розподіл тісно згруповано навколо середнього: стандартне відхилення — 9,3, а найчастіший результат — 33 (4,8% рук).
| Рука із семи карт має | Імовірність |
|---|---|
| від 30 до 40 очок за карти | 44,2% |
| щонайбільше 20 очок | 5,4% |
| щонайменше 50 очок | 6,5% |
| щонайменше 60 очок | 0,38% (1 на 265) |
| менше ніж 10 очок | 0,06% (1 на 1 633) |
Найслабша можлива рука дає 6: чотири дев’ятки й три валети. Найсильніша — 74: чотири тузи й три десятки. Пам’ятайте, що це лише карти, без мар’яжів.
Дев’ятки й тузи
У колоді по чотири карти кожного рангу, тож імовірність того, що сім карт на руці містять рівно k таких карт (наприклад, дев’яток), дорівнює C(4, k) · C(20, 7 − k) / C(24, 7). Розподіл однаковий для дев’яток, валетів, дам, королів, десяток і тузів.
| Скільки карт певного рангу на руці | Імовірність |
|---|---|
| 0 | 22,4% |
| 1 | 44,8% |
| 2 | 26,9% |
| 3 | 5,6% |
| 4 (чотири дев’ятки або чотири тузи) | 0,33% (1 на 304) |
- Ні туза, ні десятки на руці в 3,3% роздач (1 на 30). Це C(16, 7) / C(24, 7): сім карт, обраних із 16, які не є ні тузами, ні десятками.
- Чотири дев’ятки на будь-якій руці за столом: три руки по 0,33%, а оскільки двоє гравців не можуть мати їх одночасно, разом це 0,99%, тобто раз на 101 роздач.
- За одну партію (беремо 25 роздач, бо стільки в середньому триває партія за симуляцією) хтось за столом отримує чотири дев’ятки з імовірністю близько 22%.
Що дозволено в такому разі: чотири дев’ятки в правилах.
Мар’яжі
Скільки мар’яжів (пар король + дама однієї масті) має рука із семи карт? Рахуємо за мастями: для кожної масті підраховуємо, скількома способами можна взяти j із її 6 карт, з королем і дамою разом або нарізно, а результати для чотирьох мастей перемножуємо.
| Мар’яжів на руці | Імовірність |
|---|---|
| 0 | 71,5% |
| 1 | 26,5% |
| 2 | 1,9% (1 на 52) |
| 3 | 0,021% (1 на 4 807) |
Отже, принаймні один мар’яж трапляється в 28,5% випадків, і це збігається з цифрою на сторінці мар’яжі, яку взято з рушія гри.
Уся роздача одразу
Втрьох карти розходяться на чотири «групи»: три руки по 7 карт і прикуп із 3.
- Король і дама червей в одному місці. Дві конкретні карти потрапляють в одну групу з імовірністю (C(7, 2) + C(7, 2) + C(7, 2) + C(3, 2)) / C(24, 2) = 66/276. З цього 63/276, тобто 22,8%, — рука одного гравця, а 3/276, тобто 1,1%, — прикуп. 76,1% роздач розділяють цю пару.
- Принаймні один мар’яж на будь-якій руці (не в прикупі): 64,8%. У 35,2% роздач після роздачі за столом нікому не дістається жодного мар’яжу. Це ми рахуємо, перевіряючи всі 65 536 способів розмістити вісім королів і дам по чотирьох групах і для кожного підраховуючи способи додати решту карт.
Оскільки пари так часто розділяються, важливо, що прикуп може добрати бракуючу половину: торгівля та прикуп.
Прикуп
Прикуп — це три карти з 24, тож у середньому він має 15 очок за карти (3 × 5).
| У прикупі | Імовірність |
|---|---|
| є принаймні один туз | 43,7% |
| є туз або десятка | 72,3% |
| є щонайменше 20 очок | 24,9% |
| є щонайбільше 5 очок | 8,1% |
| є три дев’ятки | 0,20% (1 на 506) |
Найбільша сума очок у прикупі — 33 (три тузи). Імовірність принаймні одного туза — 1 − C(20, 3) / C(24, 3): від одиниці віднімаємо імовірність того, що всі три карти обрано з 20 карт, які не є тузами.
Як ми рахували
- Точно, а не за вибіркою. Жодне з чисел тут не походить із випадкових витягів. Це суцільна комбінаторика на цілих числах (BigInt), яку ділять лише наприкінці.
- Три перевірки. Результати збігаються (до п’ятого знака після коми) з даними, які рушій гри підрахував для сторінки Статистика Тисячі, з перебором усіх 346 104 рук по одній і з другим, незалежним методом: 200 000 перетасованих роздач.
- Скрипт. Код — це файл
liczby.mjsу репозиторії сайту (npm run liczby); він перераховує дані цієї сторінки, а тест стежить, щоб числа на сторінці завжди збігалися зі скриптом.
Як цитувати
Тисяча (1000), «Гра в цифрах», станом на 17 жовтня 2026 року — з адресою цієї сторінки.