Przy stole we trzech jest 807 723 671 040 różnych rozdań, a siedem kart w ręce ma średnio 35 punktów. Po rozdaniu przynajmniej jeden gracz ma meldunek w 64,8% rozdań, a króla i damę kier ma w jednej ręce tylko 23% rozdań. Wszystkie liczby na tej stronie policzyliśmy dokładnie, przez zliczenie układów kart, a przy każdej podajemy sposób.
807 723 671 040 tyle różnych rozdań jest we trzech: 24! / (7! · 7! · 7! · 3!)
Ile jest rozdań
Rozdajemy 24 kart: po 7 trzem graczom i 3 do musiku. Pierwszy gracz może dostać dowolne 7 z 24 kart, drugi 7 z 17, które zostały, trzeci 7 z pozostałych 10, a trzy ostatnie idą do musiku. Liczba rozdań to więc C(24, 7) · C(17, 7) · C(10, 7) = 24! / (7! · 7! · 7! · 3!).
| Co liczymy | Ile |
|---|---|
| różnych rąk siedmiu kart | 346 104 |
| różnych musików z trzech kart | 2024 |
| różnych rozdań we trzech | 807 723 671 040 |
Gdybyś rozdawał jedno rozdanie na minutę, bez snu i przerw, przejście przez wszystkie zajęłoby ok. 1,5 miliona lat. A po stu tysiącach rozdań szansa, że którekolwiek się powtórzyło, to zaledwie 0,6% (to samo rozumowanie, co w zadaniu o urodzinach).
Ile punktów ma ręka
Cała talia ma 120 punktów w kartach, więc jedna karta średnio 5 punktów, a siedem kart 35 punktów. Rozkład jest zbity wokół średniej: odchylenie standardowe wynosi 9,3 punktu, a najczęstszy wynik to 33 punkty (4,8% rąk).
| Ręka siedmiu kart ma | Szansa |
|---|---|
| od 30 do 40 punktów w kartach | 44,2% |
| najwyżej 20 punktów | 5,4% |
| co najmniej 50 punktów | 6,5% |
| co najmniej 60 punktów | 0,38% (1 na 265) |
| mniej niż 10 punktów | 0,06% (1 na 1633) |
Najsłabsza możliwa ręka to 6 punktów: cztery dziewiątki i trzy walety. Najmocniejsza to 74: cztery asy i trzy dziesiątki. Pamiętaj, że to same karty, bez meldunków.
Dziewiątki i asy
W talii są cztery karty każdej figury, więc szansa, że w ręce siedmiu kart jest dokładnie k z nich (np. dziewiątek), to C(4, k) · C(20, 7 − k) / C(24, 7). Rozkład jest taki sam dla dziewiątek, waletów, dam, królów, dziesiątek i asów.
| Ile kart danej figury w ręce | Szansa |
|---|---|
| 0 | 22,4% |
| 1 | 44,8% |
| 2 | 26,9% |
| 3 | 5,6% |
| 4 (cztery dziewiątki albo cztery asy) | 0,33% (1 na 304) |
- Ani asa, ani dziesiątki nie ma w ręce w 3,3% rozdań (1 na 30). To C(16, 7) / C(24, 7): siedem kart wybranych z 16, które nie są asem ani dziesiątką.
- Cztery dziewiątki u kogokolwiek przy stole: trzy ręce po 0,33%, a że dwóch graczy nie może mieć ich naraz, razem 0,99%, czyli raz na 101 rozdań.
- W jednej partii (przyjmujemy 25 rozdań, bo tyle trwa średnio partia według symulacji) ktoś przy stole dostanie cztery dziewiątki z szansą ok. 22%.
Co wtedy wolno: cztery dziewiątki w zasadach.
Meldunki
Ile meldunków (par król + dama w jednym kolorze) ma ręka siedmiu kart? Liczymy po kolorach: dla każdego koloru zliczamy, na ile sposobów można wziąć j z jego 6 kart z królem i damą razem albo osobno, i mnożymy wyniki dla czterech kolorów.
| Meldunków w ręce | Szansa |
|---|---|
| 0 | 71,5% |
| 1 | 26,5% |
| 2 | 1,9% (1 na 52) |
| 3 | 0,021% (1 na 4807) |
Co najmniej jeden meldunek to więc 28,5% i zgadza się to z liczbą na stronie meldunki wziętą z silnika gry.
Całe rozdanie naraz
Przy stole we trzech karty trafiają do czterech „grup”: trzech rąk po 7 kart i musiku z 3.
- Król i dama kier w jednych rękach. Dwie konkretne karty trafiają do tej samej grupy z szansą (C(7, 2) + C(7, 2) + C(7, 2) + C(3, 2)) / C(24, 2) = 66/276. Z tego 63/276, czyli 22,8%, to jedna ręka gracza, a 3/276, czyli 1,1%, to musik. 76,1% rozdań rozdziela tę parę.
- Przynajmniej jeden meldunek w którejkolwiek ręce (nie w musiku): 64,8%. W 35,2% rozdań po rozdaniu nikt przy stole nie ma żadnego meldunku. Liczymy to, sprawdzając wszystkie 65 536 sposobów rozmieszczenia ośmiu króli i dam w czterech grupach i dla każdego zliczając, na ile sposobów można dołożyć resztę kart.
Skoro pary tak często są rozdzielone, ważne jest, że musik może uzupełnić brakującą połowę: licytacja i musik.
Musik
Musik to trzy karty z 24, a więc średnio 15 punktów w kartach (3 × 5).
| W musiku | Szansa |
|---|---|
| jest co najmniej jeden as | 43,7% |
| jest as albo dziesiątka | 72,3% |
| jest co najmniej 20 punktów | 24,9% |
| jest najwyżej 5 punktów | 8,1% |
| są trzy dziewiątki | 0,20% (1 na 506) |
Najwięcej, co może leżeć w musiku, to 33 punktów (trzy asy). Szansa na jakąkolwiek kartę z asem to 1 − C(20, 3) / C(24, 3): od jedynki odejmujemy szansę, że wszystkie trzy karty wybrano spośród 20 kart, które asami nie są.
Jak liczyliśmy
- Dokładnie, nie z próbki. Żadna liczba tutaj nie pochodzi z losowania. Wszystko to kombinatoryka na liczbach całkowitych (BigInt), dzielona dopiero na końcu.
- Trzy sprawdziany. Wyniki zgadzają się (do pięciu miejsc po przecinku) z danymi, które na stronie statystyki tysiąca policzył silnik gry, z wyliczeniem wszystkich 346 104 rąk jedna po drugiej oraz z drugą, niezależną metodą: 200 000 potasowanych rozdań.
- Skrypt. Kod to plik
liczby.mjsw repozytorium strony (npm run liczby); przelicza on dane tej strony, a test pilnuje, żeby liczby na stronie zawsze zgadzały się ze skryptem.
Jak cytować
Tysiąc (1000), „Ciekawostki w liczbach”, stan na 17 października 2026 r. — z adresem tej strony.