Втроём существует 807 723 671 040 разных раскладов, а среднее число очков в семи картах на руке — 35. После раздачи хотя бы у одного игрока есть марьяж в 64,8 % раздач, а король и дама червей оказываются в одной руке всего в 23 % раздач. Каждое число на этой странице мы посчитали точно, перебором расположений карт, и для каждого приводим метод.
807 723 671 040 столько разных раскладов при трёх игроках: 24! / (7! · 7! · 7! · 3!)
Сколько бывает раскладов
Раздаём 24 карты: по 7 каждому из троих игроков и 3 в прикуп. Первый игрок может получить любые 7 из 24 карт, второй — любые 7 из оставшихся 17, третий — любые 7 из оставшихся 10, а последние три карты идут в прикуп. Поэтому число раскладов равно C(24, 7) · C(17, 7) · C(10, 7) = 24! / (7! · 7! · 7! · 3!).
| Что считаем | Сколько |
|---|---|
| разных рук из семи карт | 346 104 |
| разных прикупов из трёх карт | 2 024 |
| разных раскладов при трёх игроках | 807 723 671 040 |
Если сдавать по одному раскладу в минуту, без сна и перерывов, на перебор всех понадобилось бы примерно 1,5 млн лет. А после ста тысяч раздач шанс, что какая-то из них повторилась, — всего 0,6 % (то же рассуждение, что в задаче о днях рождения).
Сколько очков в руке
В колоде 120 очков в картах, значит, в среднем на карту приходится 5 очков, а в семи картах — 35 (в очках). Распределение плотно собрано вокруг среднего: стандартное отклонение — 9,3 (в очках), а чаще всего встречается результат 33 (4,8 % рук).
| Рука из семи карт | Шанс |
|---|---|
| от 30 до 40 очков в картах | 44,2 % |
| не больше 20 очков | 5,4 % |
| не меньше 50 очков | 6,5 % |
| не меньше 60 очков | 0,38 % (1 из 265) |
| меньше 10 очков | 0,06 % (1 из 1 633) |
Самая слабая возможная рука — четыре девятки и три валета (очков в картах: 6). Самая сильная — четыре туза и три десятки (74). Помните, что это только карты, без марьяжей.
Девятки и тузы
Карт каждого достоинства в колоде по четыре, поэтому шанс, что в руке из семи карт ровно k таких карт (например, девяток), равен C(4, k) · C(20, 7 − k) / C(24, 7). Распределение одно и то же для девяток, валетов, дам, королей, десяток и тузов.
| Сколько карт одного достоинства в руке | Шанс |
|---|---|
| 0 | 22,4 % |
| 1 | 44,8 % |
| 2 | 26,9 % |
| 3 | 5,6 % |
| 4 (четыре девятки или четыре туза) | 0,33 % (1 из 304) |
- Ни туза, ни десятки в руке — в 3,3 % раздач (1 из 30). Это C(16, 7) / C(24, 7): семь карт, выбранных из 16, которые не тузы и не десятки.
- Четыре девятки у кого-нибудь за столом: три руки по 0,33 %, а так как у двоих сразу они быть не могут, всего 0,99 %, то есть раз в 101 раздач.
- За одну партию (число конов в партии берём равным 25: столько в среднем длится партия по симуляции) кому-то за столом приходят четыре девятки с шансом около 22 %.
Что тогда разрешено: четыре девятки в правилах.
Марьяжи
Сколько марьяжей (пар «король + дама» одной масти) в руке из семи карт? Считаем по мастям: для каждой масти определяем, сколькими способами можно взять j из её 6 карт — с королём и дамой вместе или порознь, — и перемножаем результаты для четырёх мастей.
| Марьяжей в руке | Шанс |
|---|---|
| 0 | 71,5 % |
| 1 | 26,5 % |
| 2 | 1,9 % (1 из 52) |
| 3 | 0,021 % (1 из 4 807) |
Значит, хотя бы один марьяж — это 28,5 %, и это совпадает с цифрой на странице марьяжи, взятой из движка игры.
Весь расклад целиком
При трёх игроках карты достаются четырём «группам»: трём рукам по 7 карт и прикупу из 3.
- Король и дама червей в одном месте. Две конкретные карты попадают в одну группу с шансом (C(7, 2) + C(7, 2) + C(7, 2) + C(3, 2)) / C(24, 2) = 66/276. Из этого 63/276, то есть 22,8 %, — рука одного игрока, а 3/276, то есть 1,1 %, — прикуп. 76,1 % раскладов разделяют эту пару.
- Хотя бы один марьяж в любой руке (не в прикупе): 64,8 %. В 35,2 % раздач после раздачи ни у кого за столом нет ни одного марьяжа. Это мы считаем перебором всех 65 536 способов разложить восемь королей и дам по четырём группам и для каждого — подсчётом способов добавить остальные карты.
Раз пары так часто разделены, важно, что прикуп может дополнить недостающую половину: торговля и прикуп.
Прикуп
Прикуп — это три карты из 24, поэтому очков в картах в нём в среднем 15 (3 × 5).
| В прикупе | Шанс |
|---|---|
| есть хотя бы один туз | 43,7 % |
| есть туз или десятка | 72,3 % |
| не меньше 20 очков | 24,9 % |
| не больше 5 очков | 8,1 % |
| три девятки | 0,20 % (1 из 506) |
Максимум очков в прикупе — 33 (три туза). Шанс хотя бы одного туза равен 1 − C(20, 3) / C(24, 3): из единицы вычитаем шанс, что все три карты выбраны из 20 карт, не являющихся тузами.
Как мы считали
- Точно, а не по выборке. Ни одно число здесь не получено случайными раздачами. Это комбинаторика на целых числах (BigInt), деление выполняется только в конце.
- Три проверки. Результаты совпадают (до пяти знаков после запятой) с данными, которые движок игры посчитал для страницы статистика тысячи, с перебором всех 346 104 рук по одной и со вторым, независимым методом: 200 000 перетасованных раскладов.
- Скрипт. Код — файл
liczby.mjsв репозитории сайта (npm run liczby); он пересчитывает данные этой страницы, а тест следит, чтобы числа на странице всегда совпадали со скриптом.
Как цитировать
Тысяча (1000), «Игра в цифрах», по состоянию на 17 октября 2026 года — с адресом этой страницы.